สมการต้นฉบับ (Master Equation)

สวัสดีครับทุกคน หลังจากหายไปนาน วันนี้จะมาพูดถึงที่มาของ สมการต้นฉบับ (Master Equation) ที่ชื่อภาษาอังกฤษไม่ค่อยสื่อความหมายสักเท่าไหร่ สมการนี้ใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปของระบบที่เป็นแบบสุ่ม (stochastic process) โดยที่เวลาใดเวลาหนึ่ง สถานะของระบบสามารถอธิบายได้ด้วย ความน่าจะเป็น ซึ่งจะแตกต่างจากระบบที่เป็นแบบแม่นตรง (deterministic process) ที่เรารู้สถานะของระบบได้อย่างแน่นอน

ก่อนอื่นเพื่อความง่าย ให้พิจารณาระบบที่เราสนใจ มีสถานะที่ต่อเนื่อง (continuous) ในหนึ่งมิติ (1 dimension) แทนด้วยสัญลักษณ์ $x,x',x'',\cdots$ และแทนความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะ $x$ ที่เวลา $t$ ด้วย $P(x,t)$ เงื่อนไขของความน่าจะเป็นมีดังนี้ $$\begin{eqnarray} \int P(x',t')\md{x'} &=& 1,\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t')\md{x'} &=& P(x'',t''),\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t'|x,t)\md{x'} &=& P(x'',t''|x,t). \label{eq:norm_cons} \end{eqnarray}$$ โดยที่ $P(x',t'|x,t)$ แทนความน่าจะเป็นที่เจอระบบในสถานะ $x'$ ที่เวลา $t'$ ภายใต้เงื่อนไข ระบบอยู่ในสถานะ $x$ ที่เวลา $t$ นอกจากนี้ ยังสมมุติว่าระบบวิวัฒน์ไปตาม กฎลูกโซ่ของมาร์คอฟ (Markov chain) และมีอัตราการเปลี่ยนสถานะ (transition rate) จากสถานะหนึ่งไปยังสถานะหนึ่งที่ ไม่ขึ้นกับเวลา

พิจารณา $P(x'',t''|x',t')$ เมื่อเวลาเปลี่ยนไปจากเดิมเพียงเล็กน้อย นั่นคือ $t''=t'+\triangle t$ เมื่อ $\triangle t$ มีค่าน้อยมากๆ เราสามารถกระจายเทอม $P(x'',t'+\triangle t|x',t')$ ได้เป็น $$\begin{equation} \label{eq:cons_prob_exp} P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) =\left[1- \triangle t \int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \right] \delta\left(x''-x' \right) + \triangle t W\left(x''|x' \right) + O(\triangle t^{2}). \end{equation}$$ โดยที่ $W\left(x''|x' \right)$ เป็นอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ $x'$ ไปยังสถานะ $x''$ และ $O(\triangle t^{2})$ แทนเทอมถัดไปที่ขึ้นกับ $\triangle t^{2}$ สังเกตว่าเมื่อ $\triangle t\rightarrow 0$ เราจะได้ $P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) = \delta\left(x''-x' \right)$ ตามข้อกำหนดเริ่มต้น

ต่อไปเรามาพิจารณาสมการที่ ($\ref{eq:norm_cons}$) $$\begin{equation} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) =\int P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}. \label{eq:norm_cons2} \end{equation}$$ และแทนค่าสมการที่ ($\ref{eq:cons_prob_exp}$) ในสมการที่ ($\ref{eq:norm_cons2}$) และละทิ้งเทอม $O(\triangle t^{2})$ จะได้ $$\begin{align} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) &=\int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} \delta\left(x''-x'\right) + \triangle t \int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}\nonumber\\ &\quad\times\left[ W\left(x''|x' \right) -\int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \delta\left(x''-x' \right) \right],\nonumber\\ \lim_{\triangle t\rightarrow 0}& \frac{P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right)- P\left(x'',t'|x,t\right)}{\triangle t}\nonumber\\ &= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\right]\md{x'}. \end{align}$$ โดยในบรรทัดสุดท้ายมีการเปลี่ยนตัวแปรจาก $x'''$ เป็น $x'$ หลังจากนั้นคูณสมการสุดท้ายด้วย $\int \md{x}P(x,t)$ และใช้สมการ ($\ref{eq:norm_cons}$) เราจะได้ $$\begin{eqnarray} \frac{\partial P\left(x'',t'\right)}{\partial t'}&=& \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'\right)\right]\md{x'},\nonumber\\ \frac{\partial}{\partial t} P\left(x,t\right)&=& \int\left[ W\left(x|x' \right) P\left(x',t\right) -W\left(x'|x \right) P\left(x,t\right)\right]\md{x'}. \label{eq:master_eq} \end{eqnarray}$$ โดยมีการเปลี่ยนตัวแปรอีกครั้งจาก $x'',t'$ เป็น $x,t$ ในบรรทัดสุดท้าย สมการ ($\ref{eq:master_eq}$) มีชื่อว่าสมการต้นฉบับ (Master Equation)

สำหรับระบบที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง แทนด้วย $i,j,\cdots$ สมการต้นฉบับเขียนได้เป็น $$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}P_{i}(t) = \sum_{j}\left[W_{i\leftarrow j}P_{j}(t) -W_{j\leftarrow i}P_{i}(t) \right]. \label{eq:master_eq_dis} \end{equation}$$ โดย $P_{i}(t)$ แทนความน่าจะเป็นที่จะเจอระบบอยู่ในสถานะ $i$ ที่เวลา $t$ และ $W_{i\leftarrow j}$ แทนอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ $j$ ไปยังสถานะ $i$