ก่อนอื่นเพื่อความง่าย ให้พิจารณาระบบที่เราสนใจ มีสถานะที่ต่อเนื่อง (continuous) ในหนึ่งมิติ (1 dimension) แทนด้วยสัญลักษณ์ x,x′,x″ และแทนความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะ x ที่เวลา t ด้วย P(x,t) เงื่อนไขของความน่าจะเป็นมีดังนี้ \begin{eqnarray} \int P(x',t')\md{x'} &=& 1,\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t')\md{x'} &=& P(x'',t''),\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t'|x,t)\md{x'} &=& P(x'',t''|x,t). \label{eq:norm_cons} \end{eqnarray} โดยที่ P(x',t'|x,t) แทนความน่าจะเป็นที่เจอระบบในสถานะ x' ที่เวลา t' ภายใต้เงื่อนไข ระบบอยู่ในสถานะ x ที่เวลา t นอกจากนี้ ยังสมมุติว่าระบบวิวัฒน์ไปตาม กฎลูกโซ่ของมาร์คอฟ (Markov chain) และมีอัตราการเปลี่ยนสถานะ (transition rate) จากสถานะหนึ่งไปยังสถานะหนึ่งที่ ไม่ขึ้นกับเวลา
พิจารณา P(x'',t''|x',t') เมื่อเวลาเปลี่ยนไปจากเดิมเพียงเล็กน้อย นั่นคือ t''=t'+\triangle t เมื่อ \triangle t มีค่าน้อยมากๆ เราสามารถกระจายเทอม P(x'',t'+\triangle t|x',t') ได้เป็น \begin{equation} \label{eq:cons_prob_exp} P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) =\left[1- \triangle t \int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \right] \delta\left(x''-x' \right) + \triangle t W\left(x''|x' \right) + O(\triangle t^{2}). \end{equation} โดยที่ W\left(x''|x' \right) เป็นอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ x' ไปยังสถานะ x'' และ O(\triangle t^{2}) แทนเทอมถัดไปที่ขึ้นกับ \triangle t^{2} สังเกตว่าเมื่อ \triangle t\rightarrow 0 เราจะได้ P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) = \delta\left(x''-x' \right) ตามข้อกำหนดเริ่มต้น
ต่อไปเรามาพิจารณาสมการที่ (\ref{eq:norm_cons}) \begin{equation} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) =\int P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}. \label{eq:norm_cons2} \end{equation} และแทนค่าสมการที่ (\ref{eq:cons_prob_exp}) ในสมการที่ (\ref{eq:norm_cons2}) และละทิ้งเทอม O(\triangle t^{2}) จะได้ \begin{align} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) &=\int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} \delta\left(x''-x'\right) + \triangle t \int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}\nonumber\\ &\quad\times\left[ W\left(x''|x' \right) -\int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \delta\left(x''-x' \right) \right],\nonumber\\ \lim_{\triangle t\rightarrow 0}& \frac{P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right)- P\left(x'',t'|x,t\right)}{\triangle t}\nonumber\\ &= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\right]\md{x'}. \end{align} โดยในบรรทัดสุดท้ายมีการเปลี่ยนตัวแปรจาก x''' เป็น x' หลังจากนั้นคูณสมการสุดท้ายด้วย \int \md{x}P(x,t) และใช้สมการ (\ref{eq:norm_cons}) เราจะได้ \begin{eqnarray} \frac{\partial P\left(x'',t'\right)}{\partial t'}&=& \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'\right)\right]\md{x'},\nonumber\\ \frac{\partial}{\partial t} P\left(x,t\right)&=& \int\left[ W\left(x|x' \right) P\left(x',t\right) -W\left(x'|x \right) P\left(x,t\right)\right]\md{x'}. \label{eq:master_eq} \end{eqnarray} โดยมีการเปลี่ยนตัวแปรอีกครั้งจาก x'',t' เป็น x,t ในบรรทัดสุดท้าย สมการ (\ref{eq:master_eq}) มีชื่อว่าสมการต้นฉบับ (Master Equation)
สำหรับระบบที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง แทนด้วย i,j,\cdots สมการต้นฉบับเขียนได้เป็น \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}P_{i}(t) = \sum_{j}\left[W_{i\leftarrow j}P_{j}(t) -W_{j\leftarrow i}P_{i}(t) \right]. \label{eq:master_eq_dis} \end{equation} โดย P_{i}(t) แทนความน่าจะเป็นที่จะเจอระบบอยู่ในสถานะ i ที่เวลา t และ W_{i\leftarrow j} แทนอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ j ไปยังสถานะ i
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น