ก่อนอื่นเพื่อความง่าย ให้พิจารณาระบบที่เราสนใจ มีสถานะที่ต่อเนื่อง (continuous) ในหนึ่งมิติ (1 dimension) แทนด้วยสัญลักษณ์ \(x,x',x'',\cdots\) และแทนความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะ \(x\) ที่เวลา \(t\) ด้วย \(P(x,t)\) เงื่อนไขของความน่าจะเป็นมีดังนี้ \begin{eqnarray} \int P(x',t')\md{x'} &=& 1,\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t')\md{x'} &=& P(x'',t''),\nonumber\\ \int P(x'',t''|x',t')P(x',t'|x,t)\md{x'} &=& P(x'',t''|x,t). \label{eq:norm_cons} \end{eqnarray} โดยที่ \( P(x',t'|x,t) \) แทนความน่าจะเป็นที่เจอระบบในสถานะ \(x'\) ที่เวลา \(t'\) ภายใต้เงื่อนไข ระบบอยู่ในสถานะ \(x\) ที่เวลา \(t\) นอกจากนี้ ยังสมมุติว่าระบบวิวัฒน์ไปตาม กฎลูกโซ่ของมาร์คอฟ (Markov chain) และมีอัตราการเปลี่ยนสถานะ (transition rate) จากสถานะหนึ่งไปยังสถานะหนึ่งที่ ไม่ขึ้นกับเวลา
พิจารณา \( P(x'',t''|x',t') \) เมื่อเวลาเปลี่ยนไปจากเดิมเพียงเล็กน้อย นั่นคือ \(t''=t'+\triangle t\) เมื่อ \(\triangle t\) มีค่าน้อยมากๆ เราสามารถกระจายเทอม \( P(x'',t'+\triangle t|x',t') \) ได้เป็น \begin{equation} \label{eq:cons_prob_exp} P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) =\left[1- \triangle t \int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \right] \delta\left(x''-x' \right) + \triangle t W\left(x''|x' \right) + O(\triangle t^{2}). \end{equation} โดยที่ \(W\left(x''|x' \right)\) เป็นอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ \(x'\) ไปยังสถานะ \(x''\) และ \(O(\triangle t^{2})\) แทนเทอมถัดไปที่ขึ้นกับ \(\triangle t^{2}\) สังเกตว่าเมื่อ \(\triangle t\rightarrow 0\) เราจะได้ \(P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) = \delta\left(x''-x' \right)\) ตามข้อกำหนดเริ่มต้น
ต่อไปเรามาพิจารณาสมการที่ (\ref{eq:norm_cons}) \begin{equation} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) =\int P\left(x'',t'+\triangle t|x',t'\right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}. \label{eq:norm_cons2} \end{equation} และแทนค่าสมการที่ (\ref{eq:cons_prob_exp}) ในสมการที่ (\ref{eq:norm_cons2}) และละทิ้งเทอม \(O(\triangle t^{2})\) จะได้ \begin{align} P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right) &=\int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} \delta\left(x''-x'\right) + \triangle t \int P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'}\nonumber\\ &\quad\times\left[ W\left(x''|x' \right) -\int W\left(x'''|x'' \right)\md{x'''} \delta\left(x''-x' \right) \right],\nonumber\\ \lim_{\triangle t\rightarrow 0}& \frac{P\left(x'',t'+\triangle t|x,t\right)- P\left(x'',t'|x,t\right)}{\triangle t}\nonumber\\ &= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right)\md{x'} - \int W\left(x'''|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\md{x'''},\nonumber\\ \frac{\partial P\left(x'',t'|x,t\right)}{\partial t'}&= \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'|x,t\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'|x,t\right)\right]\md{x'}. \end{align} โดยในบรรทัดสุดท้ายมีการเปลี่ยนตัวแปรจาก \(x''' \) เป็น \(x'\) หลังจากนั้นคูณสมการสุดท้ายด้วย \(\int \md{x}P(x,t)\) และใช้สมการ (\ref{eq:norm_cons}) เราจะได้ \begin{eqnarray} \frac{\partial P\left(x'',t'\right)}{\partial t'}&=& \int\left[ W\left(x''|x' \right) P\left(x',t'\right) -W\left(x'|x'' \right) P\left(x'',t'\right)\right]\md{x'},\nonumber\\ \frac{\partial}{\partial t} P\left(x,t\right)&=& \int\left[ W\left(x|x' \right) P\left(x',t\right) -W\left(x'|x \right) P\left(x,t\right)\right]\md{x'}. \label{eq:master_eq} \end{eqnarray} โดยมีการเปลี่ยนตัวแปรอีกครั้งจาก \(x'',t'\) เป็น \(x,t\) ในบรรทัดสุดท้าย สมการ (\ref{eq:master_eq}) มีชื่อว่าสมการต้นฉบับ (Master Equation)
สำหรับระบบที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง แทนด้วย \( i,j,\cdots\) สมการต้นฉบับเขียนได้เป็น \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}P_{i}(t) = \sum_{j}\left[W_{i\leftarrow j}P_{j}(t) -W_{j\leftarrow i}P_{i}(t) \right]. \label{eq:master_eq_dis} \end{equation} โดย \(P_{i}(t)\) แทนความน่าจะเป็นที่จะเจอระบบอยู่ในสถานะ \(i\) ที่เวลา \(t\) และ \(W_{i\leftarrow j}\) แทนอัตราการเปลี่ยนสถานะ จากสถานะ \(j\) ไปยังสถานะ \(i\)
